## 悬链线数学表达式的证明

如右图，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，绳子的质量为m,受力分析有： Tsinθ=mg； Tcosθ=H， tanθ=dy/dx=mg/H， mg=ρs，， 其中s是右段AB绳子的长度，ρ是绳子线重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧长公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx; 所以把s带入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;…..(1) 对于(1)设p=dy/dx微分处理 得 p’=ρ/H*√(1+p^2)……(2) p’=dp/dx; 对（2）分离常量求积分 ∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx 得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C，即asinhp（反双曲正弦）=ρx/H+C 当x=0时，dy/dx=p=0；带入得C=0； 整理得asinhp=ρx/H 另祥解： （ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H）； p=sh(ρx/H) （1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2）； (p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx)； y=ch (ρx/H)* H / ρ （y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] ）； 令a=H/ρ： y=a*cosh (x/a) (y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2)= a*cosh(x/a))。

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